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\begin{document}
\title{Differentialgeometrie II} \author{Zusammenfassung von Tilmann Bitterberg}
\date{HfT-Stuttgart, den \today} 
\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% T O C
\tableofcontents{}
\newpage
%\listoffigures{}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% E I N F U E H R U N G
\parindent0em
\parskip1.5ex

%Ich will suetterlin Buchstaben als Vektoren
\renewcommand{\vec}[1]{\mbox{\suet #1}}
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\newcommand{\kapdach}{\hat{\kappa}}
\newcommand{\taudach}{\hat{\tau}}
\newcommand{\winkel}{<\!\!\!)\:}

\newtheorem{satz}{Satz}[section]
\setcounter{section}{14}
\section{Regelfl"achen}

\subsection{Darstellung von Regelfl"achen}
{\bf Gegeben:}
Raumkurve $c$ (Leitkurve): $\vec{y}(u) \in C_1$, zul"assig, d.h.
$\vecp{y}(u) \not= \vec{0}$ f"ur alle $u$.
Erzeugenden Richtung $\vec{e}(u)$ mit $\vec{e}^2(u)=1$

{\bf Regelfl"ache} 
\begin{math}
\Phi:\; \vec{x}(u, v) = \vec{y}(u) + v\cdot\vec{e}(u)
  \quad\mbox{mit}\quad v \in \Re
\end{math}

{\bf Bemerkung:}
Aus $\vec{e}^2(u)=1$ folgt $\vec{e}(u)\cdot\vecp{e}(u)=0$ f"ur alle $u$

{\bf Fl"achennormalenvektor von $\Phi$:}
\begin{eqnarray*}
\vec{x}_u &=& \vecp{y}(u) + v\cdot\vecp{e}(u)\\
\vec{x}_v &=& \vec{e}(u)\\
\vec{N}(u,v) &=& 
\frac{\vec{x}_u \times \vec{x}_v}{\left| \vec{x}_u \times \vec{x}_v \right|}=
\frac{\left( \vecp{y} + v\cdot\vecp{e}\right) \times \vec{e}}
  {\left| \left(\vecp{y} + v\cdot\vecp{e}\right) \times \vec{e}  \right|}
\end{eqnarray*}

{\bf Definition:}
Eine Regelfl"ache mit $\vec{N}_v = \vec{0}$ hei\3t {\em Torse}

\subsection{Begleitendes Dreibein einer Regelfl"ache}

{\bf Definition:}
Die Grenzlage von $\vec{N}$ f"uer $v\rightarrow\infty$ hei\3t $-\vec{z}$.

{\bf Zentraltangente:}
\[
\vec{z} = \frac{\vec{e} \;\times \vecp{e} }{|\vecp{e}|}
\]

{\bf Zentralnormale:}
\[
\vec{n} = \frac{\vecp{e}}{|\vecp{e}|}
\]

{\bf Dreibeinebenen:}
\begin{eqnarray*}
\alpha &=& \left\{ \vec{e}, \vec{n} \right\} \perp \vec{z},
\quad\mbox{Asymptotische Ebene}\quad\alpha = \tau_\infty\\\
\zeta &=&  \left\{ \vec{e}, \vec{z} \right\} \perp \vec{n},
\quad\mbox{Zentralebene}\quad\zeta = \tau_s\\
\nu &=&    \left\{ \vec{n}, \vec{z} \right\} \perp \vec{e},
\quad\mbox{Normalebene, nie tangential}
\end{eqnarray*}

{\bf Striktionspunkt $S$:}
\begin{eqnarray*}
\vec{S}\;(u_0)&=& \vec{y}(u_0) + v_s\cdot\vec{e}(u_0)\quad
  \mbox{mit}\quad v_s = -\frac{\vecp{y}(u_0)\cdot\vecp{e}(u_0)}
  {\vecp{e}^2(u_0)}
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Zu jeder Erzeugenden $e$ einer windschiefen Regelfl"ache geh"oren
eindeutig ein orthonormiertes begleitendes Dreibein 
$\left\{\vec{e}, \vec{n}, \vec{z}\right\}$ und ein Striktionspunkt $S$.
In $S$ ist $\vec{n} = \vec{N}$ die Fl"achennormale.
\end{satz}

{\bf Definition:}
Die Menge aller Striktionspunkte einer windschiefen Regelfl"ache hei\3t
Striktionslinie.
\begin{eqnarray*}
\vec{S}=\vec{S}\,(u)& = & \vec{y}(u) + v_s\cdot\vec{e}(u)\quad
  \mbox{mit}\quad v_s = -\frac{\vecp{y}(u)\cdot\vecp{e}(u)}{\vecp{e}^2(u)}
\end{eqnarray*}

\subsection{Drall einer Erzeugenden}

{\bf Drall:}
\begin{eqnarray*}
d=d(u_o)&=& \frac{\left( \vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e} \right)}{\vecp{e}^2}
\end{eqnarray*}

{\bf Winkel $\varphi = \winkel(\vec{n},\vec{N}\:)$:}
\begin{eqnarray*}
\tan\varphi&=& \frac{v_s-v}{d(u_0)} = \frac{1}{d(u_0)}\cdot(v_s-v)\quad
\mbox{mit}\quad\vecp{e}^2=1
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Bei einer windschiefen Regelfl"ache ist der Drall d ein Ma\3 f"ur die 
Drehgeschwindigkeit der Tangentialebene um die Erzeugende e beim 
Durchlaufen von e. [Die Koppelung von $P\in e$ mit $\tau$ hei\3t
{\sc Chasle}'sche Ber"uhrkorrelation]
\end{satz}

\subsection{Striktion einer Erzeugenden}

{\bf Definition:}
$\sigma = \sigma(s): \winkel(\vec{S}\:', \vec{e})$ hei\3t Striktion der
Erzeugenden $e(S_o)$

\begin{eqnarray*}
\vec{S}\;' &=& \vec{e}\cdot\cos\sigma + \vec{z}\cdot\sin\sigma\\
\Rightarrow \vec{S}\:(s) &=& 
\int\left[
  \vec{e}(s)\cdot\cos\sigma(s) + \vec{z}(s)\cdot\sin\sigma(s)
\right]\mbox{d}s
\end{eqnarray*}

\subsection{Ableitungsgleichungen}

\[
\begin{array}{lcrrr}
\vecs{e} & = & & \kapdach\cdot\vec{n} &\\
\vecs{n} & = & -\kapdach\cdot\vec{e}&&+\taudach\cdot\vec{z}\\
\vecs{z} & = & & -\taudach\cdot\vec{n} &
\end{array}
\]

{\bf Berechnung von $\kapdach$ und $\taudach$:}

\begin{eqnarray*}
\kapdach(s) & = & \left|\vecs{e}(s)\right| = |\vecp{e}(u)|\cdot\frac{1}
   {|\vecp{S}\:(u)|}\qquad\mbox{Kr"ummung von }\Phi\\
\kapdach(s) & = & \left|\vecs{z}(s)\right| = |\vecp{z}(u)|\cdot\frac{1}
   {|\vecp{S}\:(u)|}\qquad\mbox{Torsion von }\Phi
\end{eqnarray*}

\begin{satz}[Hauptsatz f"ur Regelfl"achen]
Zu beliebigen Funktionen $\kapdach(s)>0$, $\taudach(s)$ und 
$\sigma \in C_r$ gibt es bis auf starre Verschiebungen im Raum
genau eine Regelfl"ache $\Phi$, die $\kapdach$ als Kr"ummung, 
$\taudach$ als Torsion und $\sigma$ als Striktion besitzt.
$\kapdach$, $\taudach$ und $\sigma$ nennt man die nat"urlichen 
Gleichungen der Regelfl"ache $\Phi$.
\end{satz}
\begin{satz}
Die Tangentenfl"ache $\Phi$ einer Raumkurve $c$ besitzt das selbe
begleitende Dreibein, die selbe Kr"ummung und Torsion wie $c$. Die
Striktionslinie von $\Phi$ ist die Raumkurve $c$. Sie ist eine singul"are
Fl"achenkurve (Gratlinie).
\end{satz}

\subsection{{\sc Gauss}'sche Kr"ummung $K$ einer Regelfl"ache}

\begin{satz}
Eine Regelfl"ache ist genau dann eine Torse, wenn der Drall $d\equiv0$ ist,
d.h. wenn $(\vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e}) \equiv 0$ ist, wobei $\vec{e}$
hier nicht nromiert sein mu\3.
\end{satz}
\begin{eqnarray*}
K&=& \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = -\frac{d^2 
   \left( \vecp{e}^2 \right)^2}{W^4} \le 0
\end{eqnarray*}

\begin{tabular}{ll}
1. Fall : & $d=0$ ($\Phi=$ Torse) $\Leftrightarrow K = 0$\\
2. Fall : & $d\not=0$ ($\Phi=$ windschief) $\Leftrightarrow K < 0$\\
& torsale Erzeugende $d(u_0) = 0$ mit $K(u_0,v) = 0$
\end{tabular}
\begin{satz}
Eine Torse besitzt die {\sc Gauss}'sche Kr"ummung $K\equiv0$. Eine (relle)
windschiefe Regelfl"ache besitzt nur Punkte mit $K\le0$, wobei $K=0$ nur
f"ur torsale Erzeugende zutrifft.
\end{satz}

{\bf Andere Darstellung von $K$:}
Formel von {\sc Lamarle}
\begin{eqnarray*}
K&=&\frac{-d^2}{\left( d^2 + v^2 \right)^2}
\end{eqnarray*}

\subsection{Schmieglinien und Kr"ummungslinien}
\begin{satz}
\begin{enumerate}
\item Die Erzeugenden einer Regelfl"ache sind Schmieglinien, d.h. jede
Regelfl"ache besitzt mindestens eine Schaar reeller Schmieglinien.
\item Eine Torse besitzt nur ihre Erzeugenden als Schmieglinien, eine
zweite Schaar fehlt.
\item Eine windschiefe Regelfl"ache besitzt stets eine zweite Schaar
reeller Schmieglinien, die aber im allgemeinen weder geradlinig noch eben
sind. F"ur deren Windung gilt dann\[
|\tau| = \sqrt{-K}\qquad\mbox{\sc (Enneper)}
\]
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{satz}
Die Kr"ummungslinien einer Torse sind ihre Erzeugenden und deren
orthogonal Trajektorien.
\end{satz}

\section{Torsen}
\subsection{Klassifizierung von Torsen}
{\bf Torsenbedingung:}
\begin{eqnarray*}
\mbox{Drall} \quad d\equiv 0 &;& \left(\vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e}\right) \equiv 0
\end{eqnarray*}
{\bf Ansatz:}
\begin{eqnarray*}
\alpha \cdot \vecp{y} +
\beta \cdot \vec{e} +
\gamma \cdot \vecp{e} &= &\vec{0}
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Die Torsen bestehen aus Zylindern, Kegeln und Tangentenflaechen 
beliebiger Raumkurven
\end{satz}

\subsection{H"ullgebilde einparametriger Ebenenschaaren}

\begin{satz}
Die nichttrivialen H"ullfl"achen 1-parametriger Ebenenschaaren sind stets
Torsen, n"amlich Zylinder, Kegel oder Tangentenfl"achen.\\ Triviale
H"ullgebilde sind Ebenenb"uschel und parallele Ebenen.
\end{satz}

\begin{eqnarray*}
\mbox{Ebenenb"uschel}&&
E(t) : 
\underbrace{\vec{a}(t)\cdot\vec{X} - \vec{b}(t)}_{f(t)} = 0\\
\mbox{Grenzgerade}&&
g : f=0, \dot{f}=0\\
\mbox{Richtung} &&
\vec{g} = \vec{a}\; \times \vecp{a}
\end{eqnarray*}

{\bf Typen"ubersicht:}

\begin{tabular}{rlll}
1. & $\vec{a}\; \times \vecp{a} = \vec{0}$ &&Parallelebenen\\
2. & $\vec{a}\; \times \vecp{a} \not= \vec{0}$ &&\\
2.1.&& $\left( \vec{a}, \vecp{a}, \vecpp{a} \right) = 0$ & 
  \begin{math} \left\{
    \begin{array}{l}
      \mbox{Ebenenb"uschel} \\ \mbox{Zylinder}
    \end{array}
  \right. \end{math}\\[5mm]
2.2.&& $\left( \vec{a}, \vecp{a}, \vecpp{a} \right) \not= 0$ & 
  \begin{math} \left\{
    \begin{array}{l}
      \mbox{Tangentenfl"ache} \\ \mbox{Kegel}
    \end{array}
  \right. \end{math}\\
\end{tabular}

\subsection{Begleitende Torsen einer Raumkurve}

\begin{enumerate}
\item H"ullfl"ache der Schmiegebenen $\sigma$
\begin{eqnarray*}
\mbox{Ebenenschaar}\quad&&
\sigma(s) : \left( \vec{X} - \vec{x}(s) \right)\cdot \vec{b}(s) = 0\\
\mbox{Grenzgerade}\quad&&
g : \vec{X} = \vec{x} + \alpha\cdot\vec{t}\\
\mbox{Grenzpunkt}\quad&&
G : \vec{X} = \vec{y}(s) = \vec{x}(s)\qquad\mbox{Ramkurve c von }\sigma
\end{eqnarray*}
\begin{satz}
Die Schmiegebenen einer Raumkurve $c$ (mit $\kappa\cdot\tau \not=0)$ 
umh"ullen die Tangentenfl"ache von $c$. Grenzgeraden sind die Tangenten von
$c$, Grenzpunkte die Kurvenpunkte von $c$.
\end{satz}
\item H"ullgebilde der Normalebenen
\begin{eqnarray*}
\mbox{Ebenenschaar}\quad&&
\nu : \left( \vec{X} - \vec{x} \right) \cdot \vec{t} = 0\\
\mbox{Grenzgerade}\quad&&
g : \vec{X} = \vec{x}(s) + \varrho\cdot\vec{n}
+\gamma\cdot\vec{b}
\qquad\left( \varrho = \frac{1}{\kappa} \right)\\
&&\mbox{Kr"ummungsachse von $c$}\\
\mbox{Grenzpunkt}\quad&&
G : \vec{X} = \vec{x}(s) + \varrho\cdot\vec{n}
  + \frac{\varrho '}{\tau} \cdot \vec{b} = \vec{m}\\
&& G = M = \mbox{Mittelpunkt der Schmiegkugel.}
\end{eqnarray*}
\begin{satz}
Die Normalebenen einer Raumkurve $c$ (mit $\kappa\cdot\tau \not=0)$
umh"ullen eine Torse, die von den Kr"ummungsachsen von $c$ erzeugt wird.
Diese Torse ist die Tangentenfl"ache der Ortskurve der
Schmiegkugelmittelpunkte M von $c$.
\end{satz}
\item H"ullgebilde der rektifizierenden Ebenen
\begin{eqnarray*}
\mbox{Ebenenschaar}\quad&&
\varepsilon : \left( \vec{X} - \vec{x} \right) \cdot \vec{n} = 0\\
\mbox{Grenzgerade}\quad&&
g : \vec{X} = \vec{x}(s) + \kappa\cdot\vec{b} + \tau\cdot\vec{t} =
\vec{d}\\
&&\mbox{{\sc Darboux}--Vektor}
\end{eqnarray*}
Die H"ullfl"ache $\Phi$ ist genau dann ein Zylinder, wenn 
$\vec{g}=\vec{d}$ eine konstante Richtung hat. Daraus folgt $c$ ist 
B"oschungslinie
\end{enumerate}

\section{Minimalfl"achen}

\subsection{Das {\sc Plateau}sche Problem}
\begin{tabular}{lp{9cm}}
Gegeben: & Raumkurve $c$, geschlossen, ohne Doppelpunkt.\\
Gesucht: & Fl"ache $\Phi$ durch $c$ ($\Rightarrow c$ ist Fl"achenkurve) so,
da\3 $c$ aus $\Phi$ ein Fl"achenst"uck mit minimaler Oberfl"ache
auschneidet.
\end{tabular}

\subsection{Variation der Oberfl"ache}
{\bf Haupsatz der Variationsrechnung:}
\begin{eqnarray*}
\vec{B}\int\!\!\!\!\int \alpha(u,v)\cdot H(u,v) \cdot W(u,v)
\cdot du\; dv =0
\end{eqnarray*}
ist bei beliebigem $\alpha(u,v)$ nur dann $=0$, wenn der Integrand die
Nullfunktion ist.

{\bf Definition:} Alle $C_2$ Fl"achen mit $H \equiv 0$ hei\3en
Minimalfl"achen.

\begin{satz}
Also L"osungsfl"achen des {\sc Plateau}schen Problems kommen nur Fl"achen
mir $H \equiv 0$ in Frage.
\end{satz}

\subsection{Eigenschaften von Minimalfl"achen}
\begin{satz}
Eine (nicht ebene) Minimalfl"ache besitzt nur hyperbolische Punkte.
\end{satz}
\begin{satz}
Eine Fl"ache ist genau dann eine Minimalfl"ache, wenn die Schmieglinien ein
orthogonales Netz bilden.
\end{satz}

{\bf Bedingung f"ur $H \equiv 0$:}
\begin{eqnarray*}
H \equiv 0 & \Leftrightarrow & EN-GL-2FM = 0
\end{eqnarray*}

\subsection{Minimaldrehfl"achen}
{\bf Meridian $m$:}
\begin{eqnarray*}
m : u & = & \cosh \left( Cz - C^\ast \right) \cdot \frac{1}{C}
\qquad\mbox{Kettenlinie}
\end{eqnarray*}
\begin{satz}
Die einzigen reellen Minimaldrehfl"ache sind die Kathenoide (gedrehte
Kettenlinien) und triviale Ebenen.
\end{satz}

\subsection{Minimalregelfl"achen}
\begin{satz}[{\sc Catalan}]
Die einzigen reellen Minimalregelfl"achen sind die Wendelfl"achen
und triviale Ebenen.
\end{satz}

\section{Ableitungsgleichungen der Fl"achentheorie}

\subsection{Ableitungsgleichungen von {\sc Weingarten} und {\sc Rodrigues}}

{\sc Weingarten:}
\begin{eqnarray*}
\vec{N}_u &=& \frac{FM-GL}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_u + 
              \frac{FL-EM}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_v\\[3mm]
\vec{N}_v &=& \frac{FN-EM}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_u + 
              \frac{FM-EN}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_v
\end{eqnarray*}

{\bf Spezielles Parameternetz:} $F=0$ und $M=0$, d.h $u$ und $v$ sind
Kr"ummungsparameter.

{\sc Rodrigues:}
\begin{eqnarray*}
\vec{N}_u &=& -\frac{1}{R_1}\cdot\vec{x}_u\\
\vec{N}_v &=& -\frac{1}{R_2}\cdot\vec{x}_v
\end{eqnarray*}

\subsection{Fl"achen mit lauter Flachpunkten}
{\bf Flachpunkt:}
\[ L=M=N=0 \]
\begin{satz}
Die einzigen Fl"achen mit lauter Flachpunkten sind die Ebenen.
\end{satz}
\subsection{Fl"achen mit lauter parabolischen Punkten}
{\bf Parabolischer Punkt:}
\[ K=\frac{1}{R_1}\cdot\frac{1}{R_2}=0  \]
\begin{satz}
Die einzigen Fl"achen mit lauter parabolischen Punkten sind die Torsen:
Zylinder, Kegel und Tangentenfl"achen.
\end{satz}
\subsection{Fl"achen mit lauter Nabelpunkten}
{\bf Nabelpunkt:}
\[ \frac{1}{R_1}=\frac{1}{R_2}\quad \mbox{bzw.}\quad E:F:G = L:M:N\]
\begin{satz}
Die einzigen Fl"achen mit lauter Nabelpunkten sind die Kugeln.
\end{satz}

\subsection{Indexschreibweise, {\sc Christoffel}--Symbole}
{\bf Umbennung} aller bisherigen Gr"o\3en.\\
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Alt & Neu\\\hline\hline
Parameter $u$, $v$ & $u_1$, $u_2$\\
$\vec{x}_u$, $\vec{x}_v$ & $\vec{x}_{1}$, $\vec{x}_{2}$\\\hline
$E = \vec{x}_u^2$ & $g_{11} = \vec{x}_{1}\cdot\vec{x}_{1}$\\
$F = \vec{x}_u\cdot \vec{x}_v$ & $g_{12} = g_{21} = 
     \vec{x}_{1}\cdot\vec{x}_{2} = \vec{x}_{2}\cdot\vec{x}_{1}$\\
$G = \vec{x}_u^2$ & $g_{22} = \vec{x}_{2}\cdot\vec{x}_{2}$\\
$E$, $F$, $G$ & $g_{ik} = \vec{x}_{i}\cdot\vec{x}_{k}$\\
$W^2 = EG-F^2$ & $g = g_{11}\cdot g_{22} - g_{21}\cdot g_{12}$\\\hline
$L = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{uu} \right) =
-\vec{N}_u\vec{x}_u$ & $h_{11}$\\[1mm]
$M = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{uv} \right) =
-\vec{N}_u\vec{x}_v$& $h_{12} = h_{21}$\\
$N = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{vv} \right) =
-\vec{N}_v\vec{x}_v$& $h_{22}$\\[1mm]\hline
\end{tabular}

{\bf {\sc Christoffel}--Symbol 1. Art}
\begin{eqnarray*}
&&\vec{x}_{ik}\vec{x}_m=\Gamma_{ik|m}\equiv\left[{ik \atop m }\right]\\
&&\mbox{(Es ist}\; \Gamma_{ik|m}=\Gamma_{ki|m} 
\mbox{, da}\; \vec{x}_{ik}=\vec{x}_{ki}\; \mbox{ist)}
\end{eqnarray*}

{\bf {\sc Christoffel}--Symbol 2. Art}
\begin{eqnarray*}
\Gamma_{ik}^{l} &= &\sum_{m=1}^{2} \Gamma_{ik|m}\cdot g^{ml}
\equiv \left\{ {l \atop ik}\right\}
\end{eqnarray*}

{\bf Ableitungsgleichungen von {\sc Gauss}}
\begin{eqnarray*}
\vec{x}_{ik}&=&\sum_{\varrho=1}^{2}\Gamma_{ik}^{\varrho}
  \vec{x}_{\varrho}+h_{ik}\cdot\vec{N}\\
\mbox{wobei}\quad\Gamma_{ik}^{\varrho}&=&
\sum_{m=1}^2 \Gamma_{ik|m}\; g^{m \varrho}\quad\mbox{mit}\\
\Gamma_{ik|m}& = &\frac{1}{2}\cdot\left(
\frac{\partial g_{km}}{\partial u_{i}}+
\frac{\partial g_{im}}{\partial u_{k}}-
\frac{\partial g_{ik}}{\partial u_{m}}\right)
\end{eqnarray*}

{\bf Ausgerechnet:} {\sc Christoffel}--Symbol 1.Art
\begin{eqnarray*}
\Gamma_{11|1}=\frac{1}{2}E_u\mbox{; }&
  \Gamma_{11|2}=F_u-\frac{1}{2}E_v\mbox{; }&
  \Gamma_{12|1}=\frac{1}{2}E_v\\
\Gamma_{12|2}=\frac{1}{2}G_u\mbox{; }&
  \Gamma_{22|1}=F_v-\frac{1}{2}G_u\mbox{; }&
  \Gamma_{22|2}=\frac{1}{2}G_v
\end{eqnarray*}

{\bf Ausgerechnet:} {\sc Christoffel}--Symbol 2.Art
\[\begin{array}{rclrcl}
\Gamma_{11}^1& = &\displaystyle\frac
  {GE_u-2FF_u+FE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  &
\Gamma_{11}^2& = &\displaystyle\frac
  {-FE_u+2EF_u-EE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}\\[5mm]
\Gamma_{12}^1& =& \displaystyle\frac
  {GE_v-FG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  &
\Gamma_{12}^2& =& \displaystyle\frac
  {EG_u-FE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}\\[5mm]
\Gamma_{22}^1& =& \displaystyle\frac
  {-FG_v+2GF_v-GG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  &
\Gamma_{22}^2& =& \displaystyle\frac
  {EG_v-2FF_v+FG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
\end{array}\]

{\bf Ausgerechnet:} Ableitungsgleichungen von {\sc Gauss}
\[\begin{array}{rclcll}
\displaystyle\vec{x}_{uu}& =& \displaystyle\frac
  {GE_u-2FF_u+FE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{u} &+&
  \displaystyle\frac
  {-FE_u+2EF_u-EE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{v}&+L\cdot\vec{N} \\[5mm]
\displaystyle\vec{x}_{uv}& =& \displaystyle\frac
  {GE_v-FG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{u}&+&
  \displaystyle\frac
  {EG_u-FE_v}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{v}&+M\cdot\vec{N} \\[5mm]
\displaystyle\vec{x}_{vv}& = &\displaystyle\frac
  {-FG_v+2GF_v-GG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{u}&+&
  \displaystyle\frac
  {EG_v-2FF_v+FG_u}
 %-------------------------------
  {2\left(EG-F^2\right)}
  \cdot\vec{x}_{v}&+N\cdot\vec{N}
\end{array}
\]

{\bf Ausgerechnet:} Ableitungsgleichungen von {\sc Weingarten}
\[
\begin{array}{rclrcl}
\vec{N}_u &=& 
  \displaystyle\frac {-GL+FM} {EG-F^2} \cdot \vec{x}_u& +& 
  \displaystyle\frac {FL-EM}  {EG-F^2} \cdot \vec{x}_v\\[5mm]
\vec{N}_v &=& 
  \displaystyle\frac {FN-GM}  {EG-F^2} \cdot \vec{x}_u& +& 
  \displaystyle\frac {FM-EN}  {EG-F^2} \cdot \vec{x}_v
\end{array}
\]

\section{Orthogonalfl"achen}

\subsection{Sph"arische Abbildung, 3. Grundform}
{\bf Definition:} $\Phi$: Sph"arische Abbildung $\Phi \rightarrow
\Phi^\ast$ mit Ortsvektor $\vec{N}=\vec{N}(u,v) =
\stackrel{\longrightarrow}{OP^\ast}$

{\bf Definition:} Die 3. Grundform der Fl"achentheorie ist das
Bogenelementquadrat des sph"arischen Bildes
\begin{eqnarray*}
\mbox{(III)}\equiv ds^{\ast^2} &=&
  e\cdot du^2 + 2f\cdot du\;dv + g\cdot dv^2\qquad\mbox{mit}\\
e &=& \vec{N}_u^2\\
f &=& \vec{N}_u\cdot \vec{N}_v\\
g &=& \vec{N}_v^2\\
\end{eqnarray*}

{\bf Bei Kr"ummungsparametern:} ($F=M=0$)
\[
\begin{array}{rclclcl}
e &=& \vec{N}_u^2 & = & \displaystyle\frac{L^2}{E^2}\cdot\vec{x}_u^2 
   & = & \displaystyle\frac{L^2}{E}\\[3mm]
f &=& \vec{N}_u\cdot \vec{N}_v &=&
   \displaystyle\frac{LN}{EG}\cdot\vec{x}_u\vec{x}_v
   & = & \displaystyle 0 \\[3mm]
g &=& \vec{N}_v^2 & = & \displaystyle\frac{N^2}{G^2}\cdot\vec{x}_v^2 
   & = & \displaystyle\frac{N^2}{G}
\end{array}
\]

{\bf Es gilt also:} (nicht nur in Kr"ummungsparametern)
\begin{eqnarray*}
\mbox{(III)}&=& -K\cdot\mbox{(I)} + 2H\cdot\mbox{(II)}\qquad\mbox{bzw.}\\
K\cdot\mbox{(I)} + \mbox{(III)}&=&2H\cdot\mbox{(II)}
\end{eqnarray*}

\subsection{Normalenkongruenz}
{\bf Definition:} Die Menge aller Normalen von $\Phi$ hei\3t
Normalenkongruenz.

\begin{displaymath}
\Psi: \vec{X}(t,w) = \vec{x}(t) + w\cdot\vec{N}(t)\qquad
w\in\Re,\; \vec{N}^2 = 1
\end{displaymath}

{\bf $\Psi = $Torse?} Genau dann, wenn 
$\left( \frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2}\right)\cdot\dot{u}\dot{v} = 0$
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2}=0 \to \frac{1}{R_1}=
\frac{1}{R_2}$\\[1mm]
$\Phi$ hat lauter Nabelpunkte, $\to \Phi$ ist eine Kugel. Alle Normalen
l"angs  $c$ treffen sich im Kugelmittelpunkt. \\$\Rightarrow \Psi$ ist stets
ein Kegel (Spitze $M$) oder eine Ebene.
\item Keine Nabelpunkte\\
\begin{tabular}{llcll}
Aus Gleichung folgt & $\dot{u}=0$ &$\to$& $u=u_0$ & ($v$-Linie)\\
& $\dot{v}=0$ & $\to$ & $v=v_0$ & ($u$-Linie)
\end{tabular}\\
$\Rightarrow c$ ist Kr"ummungslinie von $\Psi$.
\end{enumerate}
\begin{satz}
Die Normalen einer Fl"ache $\Phi$, die weder Torse noch Kugel ist, bilden
genau dann eine Torse $\Psi$, wenn die Fl"achenkurve $c$ eine
Kr"ummungslinie von $\Phi$ ist.\\Bei einer Kugel $\Phi$ liefern alle
Fl"achenkurven mit ihren Normalen einen Kegel $\Psi$ mit Spitze im
Kugelmittelpunkt.
\end{satz}
\subsection{Dreifaches Orthogonalsystem}
{\bf Verallgemeinerung auf Fl"achen:} 3 Schaaren von Fl"achen, je 2
Fl"achen schneiden sich orthogonal. Durch jeden Raumpunkt P geht genau eine
Fl"ache jeder Schar. Ein dreifaches Orthogonalsystem entspricht
krummlinigen Koordinaten im Raum.
\begin{satz}[Satz von {\sc Darboux}] Jedes $C_2$ Fl"achenst"uck, das keine
Torse ist, kann in ein dreifaches Orthogonalsystem eingebettet werden.
\end{satz}
\begin{satz}[Satz von {\sc Dupin}]
Je 2 Fl"achen aus verschiedenen Schaaren eines dreifachen Orthogonalsystems
schneiden einander in ihren Kr"ummungslinien.
\end{satz}

\subsection{Zentrafl"achen}
$\Phi$ mit Kr"ummungsparametern $u,v$ l"angs der Kr"ummungslinien
von den Fl"achennormalen $\vec{N}$ wird eine Torse $\Psi$ gebildet.
\begin{eqnarray*}
\Psi:\quad \vec{X} &=& \vec{x}(u,v) + w\cdot\vec{N}(u,v)\qquad w\in\Re
\end{eqnarray*}
{\bf Definition:}\\ Die Menge aller Gratlinien aus den $u$-Linien von $\Phi$
hei\3t 1. Zentrafl"ache $\Gamma_1$ von $\Phi$.\\
Die Menge aller Gratlinien aus den $v$-Linien von $\Phi$ hei\3t 2.
Zentrafl"ache $\Gamma_2$ von $\Phi$.
\begin{eqnarray*}
\Gamma_1: \quad\vec{z}_1(u,v) & =& 
        \vec{x}(u,v) + R_1(u,v) \cdot \vec{N}(u,v)\\
\Gamma_2: \quad\vec{z}_2(u,v) & =& 
        \vec{x}(u,v) + R_2(u,v) \cdot \vec{N}(u,v)
\end{eqnarray*}
\begin{satz}
Die Normalen einer Fl"ache $\Phi$ ber"uhren die beiden Zentrafl"achen 
$\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ von $\Phi$.
\end{satz}
\begin{satz}
Alle Punkte der Parallelfl"achen einer Fl"ache $\Phi$, die auf den
Zentrafl"achen $\Gamma_1$ oder $\Gamma_2$  von $\Phi$ liegen, sind
singul"ar $\Rightarrow$ Jedes dreifaches Orthogonalsystem (bis auf das
karthesische) besitzt Singularit"aten.
\end{satz}
{\bf Sonderf"alle der Zentrafl"achen}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Torse $\Psi$ der Kr"ummungslinien $v=v_0$ ist ein Zylinder
$\Rightarrow$ Normalen $\vec{N}$ besitzen kein H"ullgebilde, $\Gamma_1$ tritt nicht
auf. Analog f"ur die $v$-Linien.
\item  Torse $\Psi$ der Kr"ummungslinien $v=v_0$ ist ein Kegel mit Spitze
$S$ $\Rightarrow$ Alle Normalen $\vec{N}$ der $u$-Linie treffen sich in
$S$. $\Gamma_1$ ist dann die Ortskurve der Kegelspitzen $S$, die sogenannte
{\em Brennlinie}. Analog f"ur die $v$-Linien.
\end{enumerate}
{\bf Definition:} Eine Fl"ache $\Phi$, bei der (mindestens) eine
Zentrafl"ache in eine Brennlinie entartet, hei\3t {\em Kanalfl"ache}.

{\bf Bemerkung:} Jede Kanalfl"ache ist H"ullfl"ache von Kugeln mit
variablen Radius, deren Mittelpunkte auf einer Raumkurve liegen. Bei
konstantem Radius entstehen Rohrfl"achen, z.B. Torus, Drehzylinder.

\section{Parametertransformationen}

\subsection{Allgemeines, Zul"assigkeit}
{\bf Parametertrafo:}
\[ \left\{
\begin{array}{rclcl}
u &=& u\left( \bar{u}, \bar{v}\right) &\in& C_1\\
v &=& v\left( \bar{u}, \bar{v}\right) &\in& C_1
\end{array}
\right. \]
\begin{satz}
Eine Parametertransformationen ist genau dann zul"assig, wenn die {\sc
Jacobi}--Determinante
\[
J = \left| 
\begin{array}{cc}
  u_{\bar{u}} & u_{\bar{v}} \\
  v_{\bar{u}} & v_{\bar{v}}
\end{array} \right| \not= 0
\]
ist f"ur alle $u,v$.
\end{satz}
\begin{satz}
Die Koeffizienten der 1. Grundform sind nicht parameterinvariant; die 1.
Grundform und damit die gebildete Metrik ist aber parameterinvariant.
Analoges gilt f"ur (II) und (III).
\end{satz}
\subsection{Parametertrafos mittels quadratischer Differentialformen}
\begin{satz}
In einem hinreichend kleinen Gebiet gibt es stets eine Parametertrafo, so
da\3 ein vorgegebenes Netz als Parameternetz verwendet werden kann. Jede
quadratische Differentialform mit verschiedenen (reellen) Nullrichtungen
bestimmt ein Parameternetz, bei dem alle Parameterlinien in den
Nullrichtungen verlaufen.
\end{satz}
\subsection{Spezielle Parameternetze}
\begin{enumerate}
\item {\bf Schmiegparameter}\\
Differentialform = (II) $= L\:du^2 +2M\:du\,dv + N\:dv^2 = 0$. Zwei reelle
Nullrichtungen, wenn $LN-M^2 < 0$, d.h. wenn $K < 0$ ist.
\begin{satz}
Auf jedem Fl"achenst"uck, das nur hyperbolische Punkte tr"agt, k"onnen
Schmiegparameter eingef"uhrt werdem. Ihr Kennzeichen ist $L=N=0$,
$M\not=0$.
\end{satz}
\item {\bf Kr"ummungsparameter}\\
Die Haupt Kr"ummungs Richtungen sind festgelegt durch die folgende
Determinante
\[
\left| 
\begin{array}{ccc}
 dv^2 & -du\,dv & dv^2\\
 E    & F       & G \\
 L    & M       & N 
\end{array} \right| = 0
\]
$(du:dv)_{1/2}$ sind stets reell und verschieden, sofern $P$ weder ein
Nabel-- noch Flachpunkt ist. Sie sind zueinander orthogonal.
\begin{satz}
Auf jedem Nabel und Flachpunkt freien Fl"achenst"uck k"onnen
Kr"um-mungsparameter eingef"uhrt werden. Ihr Kennzeichen ist $F=M=0$.
\end{satz}
\item {\bf Isotrope Parameter}\\
Differentialform = (I) $= E\:du^2 +2F\:du\,dv + G\:dv^2 = 0$. Da (I)
positiv definit ist, nur im Komplexen m"oglich.
\[
\left( \frac{du}{dv}\right)_{1/2} = \frac{-F\pm \sqrt{-W^2}}{E}
  \qquad\mbox{mit}\qquad W^2>0
\]
\begin{satz}
Auf jedem $C_2$ Fl"achenst"uck k"onnen Isotrope Parameter eingef"uhrt
werden. Sie sind stets komplex und bilden ein konjugiert komplexes
Parameternetz auf $\Phi$. Je zwei Parameterlinien aus verschiedenen
Schaaren schneiden sich in einem reellen Punkt $P$. 
\end{satz}
\end{enumerate}

\section{Abbildung zwischen Fl"achen}

\subsection{Darstellung von Fl"achen}
{\bf Abbildungsvorschrift:} (gegeben)
\[
P \in \Phi \quad\stackrel{\alpha}{\longmapsto}\quad P^\ast \in \Phi^\ast
\]
\begin{satz}
Jede injektive und differenzierbare Abbildung $\alpha$ zwischen zwei
Fl"achenst"ucken kann so dargestellt werden, da\3 sich Punkte mit gleichen
Parameterwerten entsprechen.
\[
\alpha : \vec{x}(u,v)\quad \longmapsto \quad \vec{x}^\ast(u,v)
\]
\end{satz}
\subsection{Isometrie}
\begin{satz}
Die Abbildung $\alpha : \Phi \longmapsto \Phi^\ast$ ist genau dann
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item {\bf l"angentreu}, wenn $E=E^\ast$, $F=F^\ast$, $G=G^\ast$ f"ur alle
$u, v$
\item {\bf winkeltreu}, wenn $E^\ast=\lambda\cdot E$, $F^\ast=\lambda\cdot
F$, $G^\ast=\lambda\cdot G$ mit $\lambda=\lambda(u,v)$ f"ur alle $u,v$
\item {\bf fl"achentreu}, wenn $W=W^\ast$ f"ur alle $u,v$ 
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{satz}
Jede l"angentreue Abbildung ist eine Isometrie.
Jede winkel-- und fl"achentreue Abbildung ist eine Isometrie.
\end{satz}

\begin{satz}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Notwendig aber nicht hinreichend f"ur eine Isometrie $\alpha : \Phi
\longmapsto \Phi^\ast$ ist die Gleichheit der {\sc Gauss}schen Kr"ummung
beider Fl"achen, $k^\ast = K$ f"ur alle $u,v$.
\item Eine Kugel kann nicht isometrisch auf eine Ebene abgebildet werden.
\item Es kibt keine Landkarte, die die Erde isometrisch abbildet, auch
nicht von Teilen ({\sc Euler}).
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{satz}
Die Torsen (Zylinder, Kegel, Tangentenfl"ache) sind die einzigen Fl"achen
$\Phi$, die man isometrisch auf die Ebene $\Phi^\ast$ abbilden kann
(Abwicklung). Bei einer Abwicklung einer Tangentenfl"ache wird die
Leitkurve $c \in \Phi$ (Gratlinie) kr"ummungstreu abgebildet auf $ c^\ast
\in \Phi^\ast$. Die Metrik auf einer Torse ist (st"uckweise) euklidisch.
\end{satz}

\subsection{Verzerrungen, {\sc Tissot}sche Indikatrix}

{\bf Definition:}
\[
\frac{ds^\ast}{ds} = \sqrt{\Lambda}
\]
hei\3t L"angenverzerrung von $\alpha$ im Linienelement P.

Es ist
\begin{eqnarray*}
\mbox{Es ist}\quad\Lambda&=&
  \frac{ds^{\ast2}}{ds^2} = 
  \frac{\mbox{(I$^\ast$)}}{\mbox{(I)}} =
  \frac{L^\ast\:du^2 +2M^\ast\:du\,dv + N^\ast\:dv^2}
       {L\:du^2 +2M\:du\,dv + N\:dv^2} > 0\qquad\mbox{($\ast$)}
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Bei einer konformen (winkeltreuen) Abbildung ist die L"angenverzerrung
richtungsunabh"angig.
\end{satz}
Analoge Aussagen wie bei der Kr"ummungstheorie
\begin{enumerate}
\item ($\ast$) besitzt zwei Extremwerte, die {\em Hauptverzerrungen}
\item Die zugeh"origen Richtungen sind stets reell und zueinander
orthogonal.
\item Produkt und arithmetisches Mittel der HVR 
$\frac{1}{\Lambda_1}$ und $\frac{1}{\Lambda_2}$ liefern
\[
\begin{array}{rcccll}
\Omega^2 & = & \displaystyle\frac{1}{\Lambda_1}\cdot \frac{1}{\Lambda_2} &=&
  \displaystyle\frac{EG-F^2}{E^\ast G^\ast -F^{\ast2}}
  &\mbox{Fl"achenverzerrung}\\[3mm]
\Sigma & = & \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{1}{\Lambda_1} +
  \frac{1}{\Lambda_2}\right) &=& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot
  \frac{EE^\ast -2FF^{\ast2} +GG^\ast }{E^\ast G^\ast -F^{\ast2}}&
  \mbox{Mittlere Verzerrung}
\end{array}
\]
Berechnung der Hauptverzerrungsrichtungen
\[
\left| 
\begin{array}{ccc}
 dv^2 & -du\,dv & dv^2\\
 E    & F       & G \\
 E^\ast& F^\ast  & G^\ast
\end{array} \right| = 0
\]
\end{enumerate}
\begin{satz}
Bei jeder nicht konformen Abbildung zwischen zwei Fl"achenexistieren in
jedem Punkt zwei zueinander senkrechte HVR. Bei Verwendung dieser
Richtungen als Parameter Richtungen gilt dann:\\ Bei jeder Abbildung
zwischen zwei Fl"achen gibt es ein {\bf orthogonales} Netz, das auf ein
{\bf orthogonales} Netz abgebilded wird.
\end{satz}
\begin{satz}
Eine Abbildung ist genau dann konform, wenn gilt $\Sigma^2 = \Lambda^2$.
\end{satz}
{\bf Formel von {\sc Tissot}}:
\[
\frac{1}{\Lambda} = \frac{\cos^2\gamma}{\Lambda_1} +
                    \frac{\sin^2\gamma}{\Lambda_2}
\]
{\bf {\sc Tissot}sche Indikatrix}:
\[
\frac{ds^{\ast2}}{ds^2}\cdot\frac{\cos^2\gamma}{\Lambda_1} + 
\frac{ds^{\ast2}}{ds^2}\cdot\frac{\sin^2\gamma}{\Lambda_2} = 1
\]
Die {\sc Tissot}sche Indikatrix ist stets eine Ellipse, bei einer konformen
Abbildung ist sie ein Kreis.

\subsection{Abbildung der Kugel auf eine Ebene}
\begin{satz}
Es gibt keine l"angentreuen Landkarten.
Eine Landkarte ist entweder fl"achen-- oder winkeltreu oder keines von
beiden.
\end{satz}

\section{Innere Geometrie auf Fl"achen}

\subsection{Der intelligente Fl"achler}
{\bf Definition}: Ein Begriff geh"ort zur inneren Geometrie von $\Phi$, wenn er
mit den Koeffizienten (und deren Ableitungen) der 1. Grundform darstellbar ist.

\begin{satz}
Satz "uber innere Geometrie
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Die gesammte Metrik einer Fl"ache geh"ort zur inneren Geometrie (L"ange,
Winkel, Oberfl"ache)
\item Ein Begriff geh"ort genau dann zur inneren Geometrie, wenn er gegen"uber isometrischen
Abbildungen invariant ist.
\item Die {\sc Gauss}sche Kr"ummung $K$ geh"ort auch zur inneren Geometrie, nicht aber die
mittlere Kr"ummung $H$ oder $\frac{1}{R_1}$ und $\frac{1}{R_2}$
\end{enumerate}
\end{satz}
\subsection{Geod"atische Kr"ummung einer Fl"achenkurve}
{\bf Definition}: Der Grenzwert
\begin{eqnarray*}
\kappa_g & = & \lim_{\varepsilon\to 0} 
\frac{\mbox{d}\bar{s}-\mbox{d}s}{\varepsilon} \cdot
\frac{1}{\mbox{d}s}
\end{eqnarray*}
hei\3t geod"atische Kr"ummung der Kurve $c$.

{\bf Berechnung mit "au\3erer Geometrie}:
\begin{eqnarray*}
\kappa_g & = & \left(
\vec{t}, \vecs{t}, \vec{N}\: 
\right) = \left(
  \vecs{x}, \vecss{x}, \vec{N}\: 
\right) = \frac{
\left(
\vecp{x}, \vecpp{x}, \vec{N}
\:\right)}{\left| \vecp{x} \right|^3}
\end{eqnarray*}
{\bf Folgerungen}: Es besteht folgender Zusammenhang mit der Kr"ummung $\kappa$ 
und der Normalkr"ummung $\kappa_n$.
\begin{eqnarray*}
\kappa_g^2 + \kappa_n^2 &=& \kappa^2
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Satz der Kr"ummungen
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Die Normalkr"ummung $\kappa_n$ einer Fl"achenkurve $c$ stimmt "uberein mit der
Kr"ummung der Normalprojektion von $c$ auf die Normalebene 
$\nu = \left\{ \vec{N}, \vec{t} \right\}$.
\item Die geod"atische Kr"ummung $\kappa_n$ stimmt "uberein mit der Projektion von $c$
auf die Tangentialebene.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{satz}
F"ur die Parameterlinien eines orthogonalen Parameternetzes gilt:
\begin{eqnarray*}
\kappa_g &=& -\frac{E_v}{2E\sqrt{G}}\qquad\mbox{f"ur eine $u$-Linie}\\
\kappa_g &=& \frac{G_u}{2G\sqrt{E}}\qquad\mbox{f"ur eine $v$-Linie}
\end{eqnarray*}
\end{satz}

{\bf Darstellung von $\kappa_g$ mittels {\sc Christoffel}}:
\begin{eqnarray*}
\kappa_g &=& \frac{\sqrt{EG-F^2}}
                  {\sqrt{E\dot{u}^2 + 2 F\dot{u}\dot{v} + G\dot{v}^2}^3} \cdot \left[
		  \dot{u}_1\ddot{u}_2 - \dot{u}_2\ddot{u}_1 +
		  \sum_{i}\sum_{k}
		    \left(
		     \Gamma_{ik}^2 \dot{u}_1 - \Gamma_{ik}^1 \dot{u}_2 
		    \right)\dot{u}_i\dot{u}_k
		  \right]
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Ber"uhren sich zwei Fl"achen l"angs einer Kurve c, so hat c auf beiden
Fl"achen die selbe geod"atische Kr"ummung $\kappa_g$.
\end{satz}

\subsection{Geod"atische Linien}
{\bf Gesucht}: Fl"achenkurve $c$ von $A$ nach $B \in \Phi$ mit 
$\stackrel{\frown}{AB}$ minimal. Sei $\vec{x}(s_0) = \vec{x}_A$ und 
$\vec{x}(s_1) = \vec{x}_B$. Daraus folgt mit {\sc Frenet}
\begin{eqnarray*}
\int\limits_{s_0}^{s_1}\kappa(s)\cdot\vec{n}(s)
\left. \frac{\mbox{d}\vec{x}}{\mbox{d}\varepsilon} \;\right/_{\varepsilon=0}
\cdot\mbox{d}s = 0
\end{eqnarray*}

\begin{satz}
Satz der Geod"atischen
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\item Jede Gerade ist Geod"atische von $\Phi$. 
\item Krummlinige Fl"achenkurven deren Schmiegebenen
$\sigma$ in jedem Punkt die entsprechende Fl"achennormale $\vec{N}$ enthalten 
sind Geod"atische.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{satz}
Die geod"atischen Linien sind Kurven mit $\kappa_g = 0$. Die Differentialgleichung
f"ur eine geod"atische Linie ist deshalb
\begin{eqnarray*}
\left(
\vecp{x}, \vecpp{x}, \vec{N} \right) &=& 0
\end{eqnarray*}
Die L"osungen sidn durch Anfangs- und Endpunkt oder durch ein Linienelement
(Anfangspunkt + Richtung) festgelegt.
\end{satz}

\begin{satz}
Die einzigen Geod"atischen in der Ebene sind die Geraden.
\end{satz}

\begin{satz}
Die einzigen Geod"atischen auf der Kugel sind ihre Gro\3kreise, d.h.
$\sigma$ durch Kugelmittelpunkt.
\end{satz}

\begin{satz}
Alle Meridiane einer Drehfl"ache und spezielle Breitenkreise sind
geod"atische Linien, alle anderen Geod"atischen sind "uber die DGL
von vorher zu bekommen.
\end{satz}

\section{Anhang}

\newcommand{\VEC}[3]{
\left( \begin{array}{c} 
#1 \\ #2 \\ #3
\end{array}\right) 
}

\subsection{Kugel}
\[
\begin{array}{rcl@{\qquad}rcl}
\vec{x}(u,v) &=& \VEC
  {r\cdot\cos u\cos v} {r\cdot\cos u\sin v} {r\cdot\sin u}
\\[7mm]
\vec{x}_u &=& \VEC
  {-r\cdot\sin u\cos v} {-r\cdot\sin u\sin v} {r\cdot\cos u}
&
\vec{x}_v &=& \VEC
  {-r\cdot\cos u\sin v} {r\cdot\cos u\cos v} {0}
\\[7mm]
\vec{x}_{uu} &=& \VEC
  {-r\cdot\cos u\cos v} {-r\cdot\cos u\sin v} {-r\cdot\sin u} = -\vec{x}
&
\vec{x}_{uv} &=& \VEC
  {r\cdot\sin u\sin v} {-r\cdot\sin u\cos v} {0} = \vec{x}_{vu}
\\[7mm]
\vec{x}_{vv} &=& \VEC
  {-r\cdot\cos u\cos v} {-r\cdot\cos u\sin v} {0}
  &
\vec{x}_{u}\times\vec{x}_v &=& -r\cdot \cos u\cdot\vec{x}\\[7mm]
\end{array} 
\] \[
\begin{array}{llll}
E = r^2 & F = 0 & G = r^2\cdot \cos^2 u & W^2=r^4\cdot\cos^2 u\\
L = r & M = 0 & N = r\cdot\cos^2 u
\end{array} 
\]
\subsection{Nordpol, S"udpol und "Aquator der Kugel}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline Element & u & v \\\hline\hline
Nordpol & $\frac{\pi}{2}$ & beliebig\\[1mm]\hline
S"udpol & $-\frac{\pi}{2}$ & beliebig\\[1mm]\hline
"Aquator & $0$ & beliebig\\[1mm]\hline
Breitenkreis & $u_0$ & beliebig \\[1mm]\hline
Nullmeridian & $-\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}$ & 0 \\[1mm]\hline
Meridian & $-\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}$ & $v_0$\\[1mm]\hline
\end{tabular}

\subsection{\index{Schraubfl"ache}Schraubfl"ache}
\[
\begin{array}{rcl@{\qquad}rcl}
\vec{x}(u,v) &=& \VEC {v\cdot \cos u}{v\cdot \sin u}{p\cdot u}
\\[7mm]
\vec{x}_u &=& \VEC{-v\cdot \sin u}{v\cdot \cos u}{p}
&
\vec{x}_v &=& \VEC{\cos u}{\sin u}{0}\\[7mm]
\vec{x}_{uu} &=& \VEC {-v\cdot \cos u}{-v\cdot \sin u}{0}
&
\vec{x}_{uv} &=& \VEC {-\sin u}{\cos u}{0} = \vec{x}_{vu}\\
\end{array} 
\] \[
\begin{array}{llll}
E = v^2 + p^2 &  F=0 & G=1 & W^2 = v^2 + p^2\\
L = 0 & W\cdot M = p & N = 0\\
K = \frac{-p^2}{\left( v^2+p^2\right)^2} & H = 0 &\mbox{Minimalfl"ache}
\end{array} 
\]



\end{document}
